Siła procentu. czyli podstawówka się kłania

W toku dyskusji internetowych pada nierzadko teza, że choć rozwijamy się szybciej niż rozwinięte kraje Zachodu, to i tak nigdy ich nie dogonimy. Prowadzi do tego takie oto rozumowanie: mamy np. 10 tys. euro dochodu i przy tempie 2% rocznie przyrasta nam ledwie 200 euro w ciągu roku. A jakiś bogaty kraj zachodni ma 40 tys. euro, rozwija się w tempie 1% i przyrasta mu 400 euro rocznie, czyli więcej. Wniosek stąd prosty, że oddala się od nas.

Mogę jednak dać uroczyste słowo honoru, że nawet przy takich warunkach dogonimy i przegonimy tych bogatszych. A jeśli ktoś mimo wszystko nie wierzy mojemu słowu (to naturalnie słuszna postawa), na poniższym wykresie zrobionym w programie GeoGebra widzi, że po niecałych 141 latach zrównamy się z tym bogatszym państwem na poziomie ponad 162 tys. euro (czerwony punkt A).

Gdyby ktoś mimo wszystko dalej nie wierzył w jakieś tam obrazki, wspomogę się jeszcze zrzutem fragmentu ekranu z Excela, gdzie po sporządzeniu odpowiedniej formułki jak byk widać, że gdzieś w okolicach 140-141 lat obie kolumny uzyskają zbliżoną wartość, z grubsza 162 tys. euro.

Dlaczego tak się dzieje? Bo istotna jest proporcja, a nie odległość w liczbach absolutnych. Jeśli tempo ścigającego jest wyższe, to po odpowiednio długim czasie goniący MUSI w końcu wyprzedzić ściganego. Po jak długim, zależy od dwóch czynników: od poziomu wyjściowego i od różnic w tempie wzrostu. Choć na początku 1 procent u tego bogatszego jest więcej wart niż 2 procent u biedniejszego, to po pewnym czasie, tu po parudziesięciu latach, oba procenty będą warte tyle samo, a potem już odległość będzie się zmniejszać. To zwykła arytmetyka.

A gdyby przybliżyć dane do realiów, to przyjmując, że polski PKB wynosi ok. 15 tys. euro, a czołowych krajów zachodnich dwa razy tyle, to założywszy realne tempo wzrostu Polski w okolicach 3,5%, a tamtych krajów 2%, dogonimy je za 47 lat na poziomie 76 tys. euro. Każda większa różnica w tempie wzrostu skróci ten czas, każda mniejsza - przedłuży.

To sprawności matematyczne na poziomie szóstej klasy szkoły podstawowej, bo nawet nie gimnazjum. Zdumiewa, że nierzadko wykraczające poza wiedzę i umiejętności uczestników dyskusji, którzy nie dają sobie nawet wytłumaczyć, że się mylą.

Absolutna pewność i inne fikcje

Lubię takie dowcipne i prowokacyjne tytuły. A takim właśnie opatrzono czternasty już tomik serii "Świat jest matematyczny". Autorem jest Pere Grima, tłumaczem z hiszpańskiego Józef Piórek.

Bardziej dosłownie mówi o zawartości podtytuł: Tajniki statystyki. Na 150 stronach, w pięciu rozdziałach i kilkudziesięciu punktach podano w popularny sposób najważniejsze, najbardziej podstawowe koncepty statystyczne, obficie opatrując je przykładami zastosowań.
Książeczki można kupować każdą z osobna (35 zł), zatem jeśli kogoś nie obchodziły inne tematy, to ten akurat bardzo polecam. I w kilku słowach wytłumaczę, dlaczego.

Wielokrotnie prowadziliśmy tutaj dyskusje na różne tematy, wspierając się danymi statystycznymi. Choć średnią arytmetyczną wprowadza się dziś już w drugiej klasie gimnazjum, a całkiem spory rozdzialik o statystyce i rachunku prawdopodobieństwa jest w ostatniej klasie liceum, to jednak znajomość najbardziej podstawowych mierników statystycznych nie jest powszechna. Przeciętny dyskutant internetowy nie bardzo potrafi wznieść się od swojego prywatnego doświadczenia ku abstrakcji mierników ważnych w zbiorowościach. Jak ktoś zarabia 1800 brutto, to nie bardzo idzie mu zaakceptowanie faktu, że średnia krajowa jest dwa razy większa. Różnica między średnią a medianą (i co z tego wynika) jest już poza zasięgiem zdecydowanej większości polemistów.

Nie chodzi o to, by zmuszać ludzi do jakichś nudnych rachunków. Statystyka to nie rachunki, to sposób myślenia. To jedna z najważniejszych intelektualnie technik pojmowania świata naokoło - do tego stopnia, że na swój prywatny użytek nazywam ją witaminą S dla mózgu. Człowiek potrafiący posłużyć się najbardziej już elementarnymi miernikami struktury i dynamiki (można by je moim zdaniem ograniczyć do dziesięciu, choć jeśli statystyk walnie mnie tu w łeb, to pokornie przyjmę) jest znacznie sprawniejszy w interpretacji rzeczywistości naokoło niż osoba niepotrafiąca policzyć zwykłej średniej - choćby ze stopni własnego smyka w szkole.

Tak więc wyjątkowo usilnie polecam ten tomik - wydatek względnie niewielki, a może spłynąć iluminacja. A może kogoś to zachęci do pobawienia się potem jakimś podręcznikiem statystyki opisowej i do rozwiązywania zadań? To narzędzie, które może się potem przydać na każdym kroku, to ważny element intelektualnej wyprawki wykształconego człowieka.

Kim Pan był, Panie Mandelbrot?

Najnowszy tomik serii "Świat jest matematyczny" poświęcony jest geometrii fraktalnej. Jak wiadomo, najczęściej jest ona kojarzona z nazwiskiem Benoit Mandelbrota, matematyka... no właśnie, jakiego?

Mandelbrot urodził się w 1924 roku w Warszawie, ale jego rodzice byli litewskimi Żydami, którzy osiedlili się w Polsce. Mamy już więc trzy nacje, które mają prawo wymieniać matematyka wśród swoich dzieci. W 1936 roku rodzina wyjechała do Francji, gdzie Mandelbrot przebywał do 1957 roku. We Francji mieszkał już wcześniej wuj Benoita, Szolem Mandelbrojt (nieco inne nazwisko), matematyk z grupy Bourbaki, też urodzony w Warszawie, ale związany z trzema kulturami. Wyjazd rodziny Benoit do Francji był spowodowany zagrożeniem narastającym w Niemczech faszyzmem, choć podejrzewam, że bardziej nawet endeckimi nastrojami, jakie rozpleniły się po śmierci Piłsudskiego, który stanowczo zwalczał te tendencje.

A więc do trzech kultur doszła czwarta, francuska. Ale w 1957 roku Mandelbrot wyjechał do USA, gdzie spędził większość swego życia i uzyskał najważniejsze wyniki.

Polska Wikipedia mówi, że Mandelbrot był francuskim matematykiem, natomiast francuska, angielska i niemiecka, że francusko-amerykańskim. Jeszcze ciekawiej, nieomal talmudycznie, kwituje sprawę hebrajska: żydowski matematyk, Amerykanin francusko-polskiego pochodzenia. Ha, pamiętacie "ale z drugiej strony" Tewje Mleczarza ze "Skrzypka na dachu"? :-)

Załamawszy w obliczu takich trudności ręce, kończę notkę hasłem, jakie przyświecało miesięcznikowi lingwistycznemu, zajmującemu się unifikacją terminologii naukowej, który kiedyś współredagowałem:scientia gentium proprietas (nauka własnością ludzkości).

Świat jest matematyczny - pierwsza przymiarka

O nowej serii popularnonaukowej "Rzeczpospolitej" - kilka słów o pierwszym nabytku i komentarz.

Na pierwszy ogień idzie Fernando Corbalán, "Złota proporcja. Matematyczny język piękna", oryginał z 2010 roku, tłum. Wiktora Bartola. Twarda okładka, 159 stron, pięć rozdziałów (Złoty podział, Złoty prostokąt, Złota liczba i pięciokąt, Piękno i doskonałość w sztuce, Złota proporcja w przyrodzie). Razem z tomem plakat i broszura opisująca serię.

Na każdej stronie jeden lub dwa elementy nietekstowe - fotografie, rysunki, wykresy, tabele, poza tym liczne wzory. Dość skomplikowany skład, ale można by mieć zastrzeżenia do jakości fotografii - dość słaba reprodukcja oryginału. Do treści się oczywiście nie odnoszę - jako profan nie mam wystarczających kompetencji.

Komentarz ogólniejszej natury: Bez dwóch zdań, to duże wydarzenie w dziedzinie popularyzatorstwa. Nie pamiętam tak wielkiej tematycznej serii popularnonaukowej - 40 tytułów poświęconych matematyce to po prostu niesamowity projekt. Co ważne, dzięki naturze przedmiotu wyjątkowo długowieczny. Te kolekcje będą przekazywane przez dziesiątki lat, z pokolenia na pokolenie, nietknięte zębem czasu, może tylko od zaczytania (pamiętam, że gdy przyszło do studiowania elementów matematyki wyższej na SGPIS, zabrałem się ambitnie za Grigorija Fichtenholza, trzytomowy "Rachunek różniczkowy i całkowy" wydany po raz pierwszy kilkadziesiąt lat wcześniej - niemiłosiernie rozgadany, ale cudownie wchodzący do głowy; w Polsce było już 12 wydań, ostatnie pięć lat temu, choć autor od pół wieku patrzy na nas z góry - tak długowieczne bywają znakomite dzieła). To seria dla ambitniejszych uczniów, dla studentów, dla nauczycieli, dla pasjonatów nauki, zwłaszcza tych, którzy kochają nauki ścisłe i przyrodnicze.

Z niecierpliwością będę oczekiwał kolejnych, wydawanych co tydzień tomów, Ale nie mam pojęcia, gdzie je będę stawiał :-)